문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파/전자기학의 경계치 문제 (문단 편집) === 경사 입사 === 이제 부터 도체 경계면에 전자기파를 비스듬히 입사시켰을 때, 어떻게 되는 지 논의하고자 한다. [math(z<0)] 영역에는 [math(\varepsilon_{1},\,\mu_{1})]인 유전체가, [math(z>0)] 영역에서는 [math(\varepsilon_{2},\,\mu_{2})]이고, 전기 전도도가 [math(\sigma)]인 도체가 있다고 하자. 위에서 '수직 입사' 경우와 같이 '유전체 - 유전체'와 경계 조건은 같고, 위상과 관련된 경계 조건 또한 물려 받는다. 즉, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=\tilde{\mathbf{k}_{2}} \times \hat{\mathbf{z}} )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{1}\sin{\theta_{1}}=\tilde{k_{2}}\sin{\tilde{\theta_{2} } } )] }}} 가 된다. 그런데, 좌변은 실수량이고, [math(\tilde{k_{2}})]는 복소수량이므로 [math(\sin{\tilde{\theta_{2} } })] 또한 복소수량이 되어야 한다. 따라서 [math(\tilde{\theta_{2}})] 또한 복소수 각임을 추측할 수 있다. 따라서 꽤 분석하기 까다로우며, 추상적이다. 분석하기 앞서 도체 영역 파수 벡터를 다음과 같이 실수부와 허수부로 나누자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{\mathbf{k_{2} } } \equiv \mathbf{k}_{r}+i\mathbf{k}_{i} )] }}} 그런데 위에서 논의했던 위상과 관련된 경계 조건을 만족시키려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=(\mathbf{k}_{r}+i\mathbf{k}_{i}) \times \hat{\mathbf{z}})] }}} 좌변은 실수량이기 때문에 이 조건을 만족하려면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{k}_{i} \times \hat{\mathbf{z}}=0)] }}} 따라서 [math(\mathbf{k}_{i})]가 [math(\hat{\mathbf{z}})] 방향임을 알 수 있고, 이에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{k}_{i} =k_{i}\hat{\mathbf{z}} )] }}} 로 쓸 수 있음을 얻는다. 또한, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{k}_{1} \times \hat{\mathbf{z}}=\mathbf{k}_{r} \times \hat{\mathbf{z}})] }}} 또한 만족시키는데, [math(\mathbf{k}_{r})]과 법선이 이루는 각을 [math(\phi)]라 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{1}\sin{\theta_{1}}=k_{r}\sin{\phi})] }}} 를 만족함을 알 수 있다. 이 항들의 분명한 의미를 알기 위해 도체 영역에서 전자기파의 형태를 조사해보자. 도체 영역에서 전자기파에 실린 전기장은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathbf{E_{2}} e^{i(\tilde{\mathbf{k_{2} } } \cdot \mathbf{r}-\omega t)}= \mathbf{E_{2}} e^{-k_{i}z}e^{i(k_{r}z\cos{\phi}+k_{r}x\sin{\phi}-\omega t)} )] }}} 따라서 [math(k_{i})]는 감쇠와 관련있다는 것을 알 수 있다. 파 자체는 [math(\mathbf{k}_{r})]로 이동하면서, [math(z)]방향으로는 감쇠를 받는 파임을 알 수 있으며, 이에 이 결과는 다음과 같은 그림을 보여준다. [[파일:나무_유전체-도체.png|width=500&align=center]] 즉, 유전체 영역에 입사한 파는 원래 동일한 위상과 진폭을 가지지만, 도체 영역에 입사하면서, 위의 논의와 같아 진다는 것을 확인할 수 있다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tilde{\mathbf{k}_{2}}&=\mathbf{k}_{r}+ik_{i}\hat{\mathbf{z}}\\ &=k_{r}(\hat{\mathbf{z}}\cos{\phi} + \hat{\mathbf{x}} \sin{\phi})+ik_{i}\hat{\mathbf{z}} \end{aligned} )] }}} 이 때, 다음과 같이 나눌 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{\mathbf{k}_{2}}=\tilde{k_{2}}\hat{\mathbf{z}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{k_{2}}\hat{\mathbf{x}}\sin{\tilde{\theta_{2} } } )] }}} 따라서 각 성분을 비교하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }&=k_{r}\cos{\phi} +ik_{i} \\ \tilde{k_{2}}\sin{\tilde{\theta_{2} } }&=k_{1}\sin{\theta_{1}}=k_{r}\sin{\phi} \end{aligned} )] }}} 이에 [math(\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } })]에 대해 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \mathrm{Re}[\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }]=k_{r}\cos{\phi} \qquad \qquad \mathrm{Im}[\tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }]=k_{i} )] }}} 임을 알 수 있다. 이번에는 다른 것을 고려해보도록 하자. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }&=\sqrt{\tilde{k_{2}^{2}}-\tilde{k_{2}^{2}}\sin^{2}{\tilde{\theta_{2} } }} \\ &=\sqrt{\tilde{k_{2}^{2}}-k_{1}^{2}\sin^{2}{\theta_{1} } } \end{aligned} )] }}} 이 때, [[전자기파]] 문서의 내용을 이용하면, 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle k_{1}^{2}=\omega^{2} \varepsilon_{1} \mu_{1} \qquad \qquad \tilde{k_{2}^{2}}=\varepsilon_{2} \mu_{2} \omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega )] }}} 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{ (\varepsilon_{2} \mu_{2}-\varepsilon_{1} \mu_{1} \sin^{2}{\theta_{1}})\omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } )] }}} 이 때, 일반적으로 [math(\mu_{1},\,\mu_{2} \simeq \mu_{0})]성립하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{\mu_{0} (\varepsilon_{2} -\varepsilon_{1} \sin^{2}{\theta_{1}})\omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } )] }}} 이 때, [math(\mu_{2} \simeq \mu_{0})]를 가정했으므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{k_{2}}=\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{2} \omega^{2}+i \mu_{0} \sigma \omega} )] }}} 으로 쓸 수 있는데, 이 식과 비교해보면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \varepsilon_{2} -\varepsilon_{1} \sin^{2}{\theta_{1}} \equiv \bar{\varepsilon_{2}} )] }}} 로 쓰면, 식이 비슷해진다. 따라서 정리하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }=\sqrt{\mu_{0} \bar{\varepsilon_{2}} \omega^{2}+i \sigma \mu_{2} \omega } )] }}} 으로 쓸 수 있고, [[전자기파]] 문서에서 [math(\tilde{k})]를 표현한 방식과 같이 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{k_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } } \equiv \frac{\omega}{c}\bar{n}+i\frac{\omega}{c}\bar{k} )] }}} 로 쓸 수 있다. [math(\bar{n})]과 [math(\bar{k})]는 [math(\tilde{k_{2}})]에서 [math(\varepsilon_{2} \rightarrow \bar{\varepsilon_{2}})]로 대치했을 때, 구해지는 광학적 상수이다. 따라서 전에 얻었던 결과와 비교해보면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\omega}{c}\bar{n}=k_{r}\cos{\phi} \qquad \qquad \frac{\omega}{c}\bar{k}=k_{i} )] }}} 임을 알 수 있다. 이 때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} k_{r}&=\sqrt{k_{r}^{2}\cos^{2}{\phi}+k_{r}^{2}\sin^{2}{\phi}} \\ &=\sqrt{\frac{\omega^{2} \bar{n}^{2}}{c^{2}}+k_{1}^{2}\sin^{2}{\theta_{1} } } \\ &=\sqrt{\frac{\omega^{2} \bar{n}^{2}}{c^{2}}+ \frac{\omega^{2} n_{1}^{2}}{c^{2}} \sin^{2}{\theta_{1} } } \\ &=\frac{\omega}{c}\sqrt{ \bar{n}^{2}+ n_{1}^{2} \sin^{2}{\theta_{1} } } \end{aligned} )] }}} 따라서 여기서 구해진 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \sqrt{ \bar{n}^{2}+ n_{1}^{2} \sin^{2}{\theta_{1} } } \equiv \bar{N} )] }}} 이라 하고, 이것을 도체 매질의 유효 굴절률이라 한다. 따라서 이것을 가지고, 한 쪽 매질이 도체일 때, [[스넬의 법칙]]을 다음과 같은 형태로 쓸 수 있음을 쉽게 증명할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle n_{1}\sin{\theta_{1}}=\bar{N}\sin{\phi})] }}} '수직 입사'에서 논의했듯, 반사 계수와 투과 계수는 다음과 같이 쓸 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle r_{p}=\frac{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }-\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } }\qquad \qquad t_{p}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\tilde{\theta_{2} } }+\tilde{n_{2}}\cos{\theta_{1} } } )] [br][br] [math(\displaystyle r_{s}=\frac{n_{1}\cos{\theta_{1}}-\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }}{n_{1}\cos{\theta_{1}}+\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }}\qquad \qquad t_{s}=\frac{2n_{1}\cos{\theta_{1} } }{n_{1}\cos{\theta_{1}}+\tilde{n_{2}}\cos{\tilde{\theta_{2} } }} )] }}} 비록 쓰지는 않겠지만, 기본적으로 복소수량이기 때문에 반사와 투과될 때, 파는 위상이 달라지게 된다. 또한, 기본적으로 높은 전기 전도도를 가진 좋은 전도체들은 [math(\left| \tilde{n_{2}} \right| \rightarrow \infty)]을 만족하기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \tilde{r_{p}}=\tilde{r_{s}} \rightarrow -1)] }}} 가 되고, 결국 이것으로 금속 표면에서 빛이 반사가 잘 되는 이유를 찾아볼 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기